Question

選修4-5：不等式選講
已知a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥

1

3

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Answer 1

分析：證明一：將平方和寫出和的平方減去乘積的2倍，再利用基本不等式，進行證明；
證明二：作差，利用配方法，再與0進行比較，即可證明；
證明三：利用柯西不等式進行證明．

解答：證明一：∵a²+b²+c²=（a+b+c）²-（2ab+2bc+2ac）≥（a+b+c）²-2（a²+b²+c²）
∴3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1∴a2+b2+c2≥

1

3

證明二：∵a2+b2+c2-

1

3

=a2+b2+c2-

(a+b+c)2

3

= 1 3 (2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac) = 1 3 [(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0

∴a2+b2+c2≥

1

3

證明三：∵（1²+1²+1²）（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1
即3（a²+b²+c²）≥1，∴a2+b2+c2≥

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點評：本題重點考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查作差法證明不等式，考查柯西不等式的運用，三法并舉，細細體會．