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（1）已知函數f(x)=x+2+
1
x
，x∈(0，+∞)，求函數f（x）的最小值；
（2）設x，y為正數，且x+y=1，求
1
x
+
4
y
的最小值．
分析：（1）利用基本不等式求出即可；
（2）利用“乘1法”，使用基本不等式即可．
解答：解：（1）∵x∈（0，+∞），∴f（x）=x+
1
x
+2≥2
x×
1
x
+2=4，當且僅當x=
1
x
，x＞0，即x=1時取等號，故函數f（x）的最小值為4；
（2）∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴
1
x
+
4
y
=(x+y)(
1
x
+
4
y
)=5+
y
x
+
4x
y
≥5+2
y
x
×
4x
y
=9，當且僅當
y
x
=
4x
y
，x+y=1，x＞0，y＞0，即x=
1
3
，y=
2
3
時取等號，即
1
x
+
4
y
的最小值為9．
點評：變形使用基本不等式是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列命題：（1）已知函數f(x)=x+
p
x-1
（p為常數且p＞0），若f（x）在區間（1，+∞）的最小值為4，則實數p的值為
9
4
； （2）?x∈[0，
π
2
]，sinx+cosx＞
2
；（3）正項等比數列{an}中：a4．a6=8，函數f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7），則f′(0)=16
2
；（4）若數列{an}的前n項和為Sn=2n2-n+1，且bn=2an+1，則數列{bn}前n項和為Tn=4n2-n+2上述命題正確的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知函數f(x)=sin(
1
2
x+
π
4
)，求函數在區間[-2π，2π]上的單調增區間；
（2）計算：tan70°cos10°(
3
tan20°-1)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在集合D上的函數y=f（x），若f（x）在D上具有單調性，且存在區間[a，b]⊆D（其中a＜b），使當x∈[a，b]時，
f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）是D上的正函數，區間[a，b]稱為f（x）的“等域區間”．
（1）已知函數f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函數，試求f（x）的等域區間．
（2）試探究是否存在實數k，使函數g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函數？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

問題1：已知函數f(x)=
x
1+x
，則f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我們若把每一個函數值計算出，再求和，對函數值個數較少時是常用方法，但函數值個數較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發現f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示為f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1為定值，有此規律從而很方便求和，請求出上述結果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a是實數，f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
（1）已知函數f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)是奇函數，求實數a的值．
（2）試證明：對于任意實數a，f（x）在R上為增函數．

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