Question

【題目】已知函數，，其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）若對任意，任意，不等式恒成立時最大的記為，當時，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)求導后分與兩種情況分析函數的單調性即可.

(2)參變分離與可得,再令,求導得,再分析的單調性,分,與三種情況求解導函數的正負以及原函數的單調性,進而求得的解析式,再求導分析單調性與范圍即可.

解：（1）∵

∴,∵,

∴①當時,的減區間為,沒有增區間

②當時,的增區間為,減區間為

（2）原不等式.

∵,,∴,

令,

令

在上遞增；

①當時,即,∵,所以時,,

∴在上遞增；∴.

②當,即時,,∴在上遞減；

∴

③當時,又在上遞增；

存在唯一實數,使得,即，

則當時.

當時.

∴.

∴.

令在上遞增,

,∴.

綜上所述,.