Question

【題目】如圖，橢圓E： ，點P（0，1）在短軸CD上，且
（Ⅰ） 求橢圓E的方程及離心率；
（Ⅱ） 設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點．是否存在常數λ，使得 為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，點C，D的坐標分別為（0，﹣b），（0，b）．
又點P的坐標為（0，1），且 ，即1﹣b2=﹣2，
解得b2=3．
∴橢圓E方程為 ．
∵c= =1，∴離心率e= ；
（Ⅱ）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2）．
聯立 ，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．
其判別式△＞0，
x1+x2= ，x1x2= ．
從而， =x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]
=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
= = ﹣2λ﹣3，
當λ=2時， ﹣2λ﹣3=﹣7，
即 =﹣7為定值．
當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，
此時 = =﹣3﹣4=﹣7，
故存在常數λ=2，使得 為定值﹣7
【解析】（Ⅰ）由已知可得點C，D的坐標分別為（0，﹣b），（0，b）．結合 列式求得b，則橢圓方程可求，進一步求出c可得橢圓的離心率；（Ⅱ）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2）．聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系可得A，B橫坐標的和與積 ，可知當λ=2時， =﹣7為定值．當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，仍有 = =﹣3﹣4=﹣7，故存在常數λ=2，使得 為定值﹣7．