Question

已知a是給定的實常數．設函數f(x)=(x-a)²(x+b)e^x，b∈R，x=a是f(x)的一個極大值點，
(Ⅰ)求b的取值范圍；
(Ⅱ)設x₁，x₂，x₃是f(x)的3個極值點，問是否存在實數b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列(其中{i₁，i₂，i₃，i₄}={1，2，3，4})依次成等差數列？若存在，求所有的b及相應的x₄；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
令，
則，
于是可設x₁，x₂是g(x)=0的兩實根，且x₁＜x₂，
①當x₁=a或x₂=a時，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意；
②當x₁≠a且x₂≠a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x₁＜a＜x₂，即g(a)＜0，
即a²+(3-a+b)a+2b-ab-a＜0，所以b＜-a，
所以b的取值范圍是(-∞，-a）．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，假設存在b及x₄滿足題意，
則①當時，則，
于是，
即，
此時，或
；
②當時，則或，
（ⅰ）若，則，
于是，
即，
于是，
此時；
（ⅱ）若，則，
于是，
即，
于是，
此時；
綜上所述，存在b滿足題意；
當b=-a-3時，；
當時，；
當時，。