Question

【題目】橢圓與軸，軸的正半軸分別交于兩點，原點到直線的距離為，該橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，求線段的垂直平分線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意直線方程為，即，根據題設條件列出方程組，求解的值，即可求得橢圓的方程；（2）當直線斜率不存在時，線段的垂直平分線的縱截距為0；當直線斜率存在時，設直線的方程為，代入橢圓的方程，由和韋達定理，得，利用垂直平分線的方程，即可求得線段的垂直平分線在軸上截距的取值范圍.

試題解析：（1）由題意，直線方程為，即，

由，得故橢圓的方程為；

（2）當直線斜率不存在時，線段的垂直平分線的縱截距為0；

當直線斜率存在時，設直線的方程為，

代入得………………（*）.

由，得，

設，，的中點，

根據（*）及韋達定理，有，，

于是線段的垂直平分線的方程為，

令，得中垂線的縱截距，由，得，

綜上，縱截距的取值范圍為.