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【題目】（本小題滿分13分）

如圖，已知拋物線，過點任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點（為坐標原點）.

(1)證明：動點在定直線上；

(2)作的任意一條切線（不含軸）與直線相交于點，與（1）中的定直線相交于點，證明：為定值，并求此定值.

【答案】（1）詳見解析，（2）8.

【解析】

試題分析：（1）證明動點在定直線上，實質是求動點的軌跡方程，本題解題思路為根據條件求出動點的坐標，進而探求動點軌跡：依題意可設AB方程為，代入，得，即.設，則有：，直線AO的方程為；BD的方程為；解得交點D的坐標為，注意到及，則有，因此D點在定直線上.（2）本題以算代征，從切線方程出發，分別表示出的坐標，再化簡.設切線的方程為，代入得，即，由得，化簡整理得，故切線的方程可寫為，分別令得的坐標為，則，即為定值8.

試題解析：（1）解：依題意可設AB方程為，代入，得，即.設，則有：，直線AO的方程為；BD的方程為；解得交點D的坐標為，注意到及，則有，因此D點在定直線上.（2）依題設，切線的斜率存在且不等于零，設切線的方程為，代入得，即，由得，化簡整理得，故切線的方程可寫為，分別令得的坐標為，則，即為定值8.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】(本小題滿分12分)

已知=12sin(x+)cosx-3,x∈[o,].

(1)求的最大值、最小值;

(Ⅱ)CD為△ABC的內角平分線,已知AC=max,BC=,CD=2,求∠C.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的參數方程為 (θ為參數)，直線l的極坐標方程為ρcos＝2.

(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；

(2)求曲線C上的點到直線l的最大距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的值；

（3）設，若在內是減函數，對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在測試中,客觀題難題的計算公式為,其中為第題的難度，為答對該題的人數，為參加測試的總人數.現對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題.測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號

1

2

3

4

5

考前預估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統計各題的作答情況，如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯)：

學生 編號

題號

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

（1）根據題中數據，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數；

題號

1

2

3

4

5

實測答對人數

實測難度

（2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（3）定義統計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度().規定：若，則稱該次測試的難度估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預估是否合理.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設點的坐標分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積是.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與曲線相交于兩點，若是否存在實數，使得的面積為?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某市2015年全年空氣質量等級如表1所示.

表1

空氣質量等級（空氣質量指數（AQI））

頻數

頻率

優（）

83

22.8%

良（）

121

33.2%

輕度污染（）

68

18.6%

中度污染（）

49

13.4%

重度污染（）

30

8.2%

嚴重污染（）

14

3.8%

合計

365

100%

2016年5月和6月的空氣質量指數如下：

5月 240 80 56 53 92 126 45 87 56 60

191 62 55 58 56 53 89 90 125 124

103 81 89 44 34 53 79 81 62 116

88

6月 63 92 110 122 102 116 81 163 158 76

33 102 65 53 38 55 52 76 99 127

120 80 108 33 35 73 82 90 146 95

選擇合適的統計圖描述數據，并回答下列問題：

（1）分析該市2016年6月的空氣質量情況.

（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質量，哪個月的空氣質量較好？

（3）比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質量，2016年6月的空氣質量是否好于去年？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數（且）.

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）若，判斷在的單調性并用復合函數單調性結論加以說明；

（3）若，是否存在，使在的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發車間隔時間與乘客等候人數之間的關系，經過調查得到如下數據：

間隔時間/分

10

11

12

13

14

15

等候人數y/人

23

25

26

29

28

31

調查小組先從這組數據中選取組數據求線性回歸方程，再用剩下的組數據進行檢驗．檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數，再求與實際等候人數的差，若差值的絕對值都不超過，則稱所求方程是“恰當回歸方程”．

（1）從這組數據中隨機選取組數據后，求剩下的組數據的間隔時間不相鄰的概率；

（2）若選取的是后面組數據，求關于的線性回歸方程，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”；

（3）為了使等候的乘客不超過人，試用（2）中方程估計間隔時間最多可以設置為多少（精確到整數）分鐘．

附：對于一組數據，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.

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