Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分別是棱BC和CC₁的中點
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求證：平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer 1

分析：（1）連接CD₁，交C₁D于點O，由E是BC的中點，知O是CD₁的中點，從而得到BD₁∥OE，由此能夠證明BD₁∥平面C₁DE．
（2）由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，知A₁B₁⊥C₁E，∠B₁C₁O₁=∠CEC₁，∠C₁B₁O₁=∠CC₁E，且B₁C₁=C₁C，從而Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，由此能夠證明平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

解答：（1）證明：如圖1，連接CD₁，交C₁D于點O，
∵E是BC的中點，O是CD₁的中點，
∴BD₁∥OE，
∵BD₁?平面C₁DE，OE?平面C₁DE，
由線面平行的判定定理知BD₁∥平面C₁DE．
（2）證明A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥C₁E，∠B₁C₁O₁=∠CEC₁，
∴∠C₁B₁O₁=∠CC₁E，且B₁C₁=C₁C，
從而Rt△B₁C₁P≌Rt△C₁CE，
∴C₁P=CE，C₁E⊥B₁P．
又∵A₁B₁∩B₁P=B₁，∴C₁E⊥平面A₁B₁P．
∵C₁E?平面C₁DE，
∴平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間想象能力的培養．