Question

已知函數f（x）=2sin（

π

3

-2x）
1）用五點法作出函數在一個周期內的圖象；
2）求函數的周期和單增區間；
3）若方程f（x）=a在區間（0，

2π

3

）有兩個不同的實根，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）分別令2x-

π

3

=0、

π

2

、π、

3π

2

、2π，可得x=

π

6

、

5π

12

、

2π

3

、

11π

12

、

7π

6

，由此得到函數在一個周期內圖象上的關鍵的點，描出這五個點的坐標再連成平滑的曲線，即可得到函數在一個周期內的圖象．
（2）根據三角函數的單調區間的公式與周期公式加以計算，可得函數的周期和單增區間；
（3）研究f（x）區間（0，

2π

3

）上的單調性與函數的取值，可得f（x）在區間（

π

6

，

2π

3

）上且x≠

5π

12

時，有兩個x對應一個函數值y，由此即可算出滿足條件的實數a的范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=2sin（

π

3

-2x）=-2sin（2x-

π

3

）．列出如下表格：

在直角坐標系中描出點（

π

6

，0），（

5π

12

，-2），（

2π

3

，0），（

11π

12

，2），（

7π

6

，0）．
將此五個點連成平滑的曲線，即得函數f（x）=2sin（

π

3

-2x）在一個周期內的圖象，如圖所示；
（2）∵f（x）=2sin（

π

3

-2x）=-2sin（2x-

π

3

）．∴函數的周期T=

2π

2

=π，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z），
∴函數的單調遞增區間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）．
（3）當x∈（0，

2π

3

）時，可得f（x）=2sin（

π

3

-2x）在（0，

5π

12

]上為減函數，函數值從

3

減小到-2；
在[

5π

12

，

2π

3

）上為增函數，函數值從-2增大到0．（x=0與

2π

3

處的函數值取不到）
∴函數f（x）=2sin（

π

3

-2x）在區間（

π

6

，

2π

3

）上且x≠

5π

12

時，有兩個x對應一個函數值y．
因此，方程f（x）=a在區間（0，

2π

3

）有兩個不同的實根，a的取值范圍為（-2，0）．

點評：本題給出正弦型三角函數，求它的單調區間并作出一個周期內的圖象，討論關于x的方程解的個數，著重考查了三角函數的單調性、三角函數的圖象作法與函數圖象的變換公式等知識，屬于中檔題．