Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 對一切正整數n，點Pn（n，Sn）都在函數f（x）=x2+2x的圖象上，記an與an+1的等差中項為kn ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若 ，求數列{bn}的前n項和Tn；
（3）設集合 ，等差數列{cn}的任意一項cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小數，且110＜c10＜115，求{cn}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點Pn（n，Sn）都在函數f（x）=x2+2x的圖象上，∴ ，

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1．

當n=1時，a1=S1=3滿足上式，

所以數列{an}的通項公式為an=2n+1．

（2）

解：∵kn為an與an+1的等差中項

∴

∴ ．

∴ ①

由①×4，得 ②

①﹣②得： =

∴

（3）

解：∵

∴A∩B=B

∵cn∈A∩B，c1是A∩B中的最小數，∴c1=6．

∵{cn}是公差為4的倍數的等差數列，∴ ．

又∵110＜c10＜115，∴ ，解得m=27．

所以c10=114，

設等差數列的公差為d，則 ，

∴cn=6+（n+1）×12=12n﹣6，

∴cn=12n﹣6．

【解析】（1）根據點Pn（n，Sn）都在函數f（x）=x2+2x的圖象上，可得 ，再寫一式，兩式相減，即可求得數列{an}的通項公式；（2）先確定數列的通項，再利用錯位相減法求數列的和；（3）先確定A∩B=B，再確定{cn}是公差為4的倍數的等差數列，利用110＜c10＜115，可得c10=114，由此可得{cn}的通項公式．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對等差數列的性質的理解，了解在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列．