Question

【題目】已知橢圓的長軸與短軸比值是2，橢圓C過點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點作圓x2+y2=1的切線交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數，并求S△AOB的最大值

Answer 1

【答案】（1）（2），m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）；S△AOB的最大值為1

【解析】

(1) 由已知可知,及橢圓C過點,代入橢圓方程即可求得,進而得出結果.

(2) 由題設知切線的斜率存在,設切線的方程為，與橢圓方程聯立求得弦長,由于與圓相切,可得=1,化簡可得,利用基本不等式化簡即可求得結果.

解：（1）∵橢圓的長軸與短軸比值是2，

∴，設橢圓C的方程為：，

∵橢圓C過點，

∴，∴，

∴橢圓C的標準方程為.

（2）由題意知,.

由題設知切線的斜率存在，設切線的方程為，

由，得，

設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），

則，

又∵與圓相切，

∴=1，，

∴=

=

=，

∴,

∴（當且僅當時取等號）

∴當時，S△AOB的最大值為1.