Question

【題目】在正方體中，P是側面上的動點，與垂直，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

解法一：根據異面直線所成角的定義在圖形中找出與所成的角，然后在三角形中利用解三角形的知識求解；

解法二、解法三：建立空間直角坐標系，從而得出與所成角的余弦值的表達式，求出其余弦值的最大值，即得其正弦值的最小值．

解法一：如圖，連接，易證得直線平面．

因為與垂直，且是側面上的動點，所以點是線段上的動點．

又，所以直線與直線所成的角即．

連接，平面，平面，，

在直角三角形中，設，，

則，因此，

因為，所以當時，取得最小值，最小值為．

解法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1，則，設，其中，

則，

因為與垂直，所以，所以，

所以，

因為，所以當時，取得最大值，

此時取得最小值；

解法三：如圖，連接，易證得直線平面．

因為與垂直，且是側面上的動點，所以點是線段上的動點，

以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

設正方體的棱長為1，則，

于是，設，

所以，所以，

所以，

因為，所以當時，取得最大值，

此時取得最小值．

故選：B.