Question

(本題分12分）

如圖，斜率為1的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點A、B, 將直線按向量平移得到直線,為上的動點,為拋物線弧上的動點.

(Ⅰ) 若 ,求拋物線方程.

(Ⅱ)求的最大值.

(Ⅲ)求的最小值.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）.  (2) .

(3)當時, 的最小值為.

【解析】此題考查拋物線的定義，及向量坐標運算

（1）根據拋物線的定義得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；（2）設直線l的方程及N點坐標和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐標運算，求得

的以N點坐標表示的函數式，利用二次函數求最值的方法，可求得所求的最小值.

解：（1）由條件知，則，消去得：①，則，由拋物線定義，

又因為，即，則拋物線方程為.-------------3分

 (2)由(1)知和,設,則到距離:

,因在直線的同側,所以,

則,即,

由①知

所以,則當時, ,

則.----------------------8分

(3) 設,,

則,

即

由①知,,,，則,即，當時, 的最小值為.

(其它方法酌情給分)-------- ------12分