Question

利用函數單調性的定義證明：f(x)=x+

4

x

在區間[2，+∞）上為增函數．

Answer 1

分析：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據增函數的定義，只需說明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答：證明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

4

x1

）-（x2+

4

x2

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因為2≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上為增函數．

點評：本題考查函數單調性的證明，屬基礎題，單調性的證明方法主要有：定義法；導數法，要熟練掌握．