Question

在橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上求一點M，使點M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

分析：求出與已知直線平行且與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1相切的直線方程，根據橢圓的性質可得兩條切線中與已知直線距離較近那條與橢圓相切于M₀點，當M與重合M₀時，點M到直線x+2y-10=0的距離最�。�由此結合題意加以計算，即可得到本題的答案．

解答：解：設直線x+2y+C=0與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1相切
聯解消去x，得25y²+16Cy+4C²-36=0
△=（16C）²-4×25×（4C²-36）=0，解之得C=5或-5
∴與直線x+2y-10=0平行且與橢圓相切的直線方程為x+2y±5=0
其中與直線x+2y-10=0距離較近的是x+2y-5=0
∵平行線x+2y-10=0與x+2y-5=0的距離d=

|-10+5|

12+22

=

5

聯解

x+2y-5=0 x2 9 + y2 4 =1

，得M的坐標為M（

9

5

，

8

5

）
∴橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上點M到直線x+2y-10=0的距離最小值為

5

，相應的點M坐標為（

9

5

，

8

5

）．

點評：本題給出與橢圓相離的一條直線，求橢圓上的點到直線距離的最小值．著重考查了點到直線的距離公式、橢圓的簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的關系等知識，屬于中檔題．