Question

如圖所示，已知PA是⊙O相切，A為切點，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（1）求證：A、P、D、F四點共圓；
（2）若AE•ED=24，DE=EB=4，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）由已知中DE²=EF•EC，我們易證明，△DEF～△CED，進而結合CD∥AP，結合相似三角形性質，得到∠P=∠EDF，由圓內接四邊形判定定理得到A、P、D、F四點共圓；
（2）由（1）中的結論，結合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，結合已知條件，可求出PB，PC的長，代入切割線定理，即可求出PA的長．

解答：解（1）證明：∵DE²=EF•EC，∴

DE

CE

=

EF

ED

，
又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，
又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P
故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四點共圓；
（2）由（Ⅰ）及相交弦定理得PE•EF=AE•ED=24，
又BE•EC=AE•ED=24，∴EC=6，EF=

DE2

EC

=

8

3

，PE=9，PB=5，PC=PB+BE+EC=15，
由切割線定理得PA²=PB•PC=5×15=75，
所以PA=5

3

為所求．

點評：本題考查的知識點是與圓有關的比例線段，圓內接四邊形的判定定理，其中（1）的關鍵是證得∠P=∠EDF，（2）的關鍵是求出PB，PC的長，為切割線定理的使用創造條件．