Question

【題目】對于函數y＝H(x)，若在其定義域內存在x0，使得x0·H(x0)＝1成立，則稱x0為函數H(x)的“倒數點”．已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝(x＋1)2－1.

(1)求證：函數f(x)有“倒數點”，并討論函數f(x)的“倒數點”的個數；

(2)若當x≥1時，不等式xf(x)≤m[g(x)－x]恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）[1，＋∞).

【解析】

（1）構造函數 (x>0)，轉化為研究該函數的零點問題即可；

（2）對不等式進行轉化得2x·ln x≤m(x2－1)，當x≥1時恒成立，構造函數，x≥1，通過求導分析函數的單調性最值求參數范圍即可.

(1)證明　設h(x)＝ln x－ (x>0)，則h′(x)＝＋>0(x>0)，所以h(x)在(0，＋∞)為單調遞增函數．

而h(1)<0，h(e)>0，

所以函數h(x)有零點且只有一個零點．

所以函數f(x)有“倒數點”且只有一個“倒數點”．

(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等價于2x·ln x≤m(x2－1)，

設d(x)＝2ln x－m，x≥1.

則，x≥1，

易知－mx2＋2x－m＝0的判別式為Δ＝4－4m2.

①當m≥1時，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上單調遞減，d(x)≤d(1)＝0，符合題意；

②當0<m<1時，方程－mx2＋2x－m＝0有兩個正根且0<x1<1<x2，則函數d(x)在(1，x2)上單調遞增，此時d(x)>d(1)＝0，不合題意；

③當m＝0時，d′(x)>0，d(x)在(1，＋∞)上單調遞增，此時d(x)>d(1)＝0，不合題意；

④當－1<m<0時，方程－mx2＋2x－m＝0有兩個負根，d(x)在(1，＋∞)上單調遞增，此時d(x)>d(1)＝0，不合題意；

⑤當m≤－1時，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上單調遞增，此時d(x)>d(1)＝0，不合題意．

綜上，實數m的取值范圍是[1，＋∞)．