【題目】如圖所示，在正三棱柱
中，點
是
的中點，點
是
的中點，所有的棱長都為
.
（1）求證：
；
（2）求點
到平面
的距離.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）由條件可證明
平面
，得
，由此可證明
平面
，即可證明
（2）利用三棱錐等體積法，即
，分別計算兩個棱錐的體積，即可求出點
到平面
的距離.
（1）在正三棱柱
中，底面
為正三角形，而點
為
的中點，所以
.
又側棱
底面，
平面，則
.
而
，所以平面
，且
平面，
從而.
正三棱柱所有棱長均相等，點
是
的中點，
所以
，
，
，從而
.
由
，得
.
又
點，所以平面，從而.
（2）記點到平面的距離為
，
則三棱錐
的體積為
.
由（1）證明過程可知，平面，且
平面，從而
.
由條件計算得，
，
，
的面積為
，從而
.
在正三棱柱中，過點作
的垂線交于
點，
又側棱底面，
平面，則
.
而
，所以
平面
，
即
是三棱錐
的高，且
，
.
而，所以
，
，
即點到平面的距離為.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為
的正方形截去一個三角形
所得的五邊形
，其中
，如圖所示.現在需要用這塊材料截取矩形鐵皮
，使得矩形相鄰兩邊分別落在
上，另一頂點
落在邊
或
邊上.設
，矩形的面積為
.
（1）試求出矩形鐵皮的面積
關于
的函數解析式，并寫出定義域；
（2）試問如何截�。�取何值時），可使得到的矩形的面積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，右焦點到右頂點的距離為1.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：
，使得
成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
和
滿足：
，
，
且對一切，均有
．
（1）求證：數列
為等差數列，并求數列的通項公式；
（2）求數列的前
項和
；
（3）設
，記數列
的前項和為
，求正整數
，使得對任意，均有
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是AB，PD的中點，且PA=AD．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
給定橢圓
，稱圓心在原點
，半徑為
的圓是橢圓Ｃ的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到Ｆ的距離為
.
（I）求橢圓Ｃ的方程和其“準圓”方程；
(II )點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線
，使得與橢圓C都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點M，N.
（1）當P為“準圓”與
軸正半軸的交點時，求的方程；
（2）求證：|MN|為定值.
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