Question

已知a＞0,函數f(x)=ln(2-x)+ax.?

(1)設曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為l,若l與圓(x+1)²+y²=1相切,求a的值;?

(2)求函數f(x)的單調區間.

Answer 1

解析:(1)依題意,有x＜2,f′(x)=a+,?

過(1,f(1))點的直線的斜率為a-1,所以過(1,f(1))點的直線方程為y-a=(a-1)(x-1).?

又已知圓圓心為(-1,0),半徑為1,?

依題意,有=1.解之,得a=1.?

(2)f′(x)= =a［x-(2-)］,?

當a＞0時,2-＜2,?

令f′(x)＞0,解得x＜2-;?

令f′(x)＜0,解得2-＜x＜2.?

所以(-∞,2-)是f(x)的增區間;?

(2-,2)是f(x)的減區間.?

(3)當2-≤0,即0＜a≤時,f(x)在［0,1］上是減函數,?

所以f(x)的最小值為f(1)=a.?

當0＜2-＜1,即＜a＜1時,f(x)在(0,2-)上是增函數,在(2-,1)上是減函數,?

所以需比較f(0)=ln2和f(1)=a兩個值的大小.?

因為＜2＜e,所以=lne＜ln2＜lne=1.?

所以,當＜a＜ln2時,最小值為a;當ln2≤a＜1時,最小值為ln2.?

當2-≥1,即a≥1時,f(x)在［0,1］上是增函數,所以最小值為f(0)=ln2.?

綜上,當0＜a＜ln2時,f(x)的最小值為a,當a≥ln2時,f(x)的最小值為ln2.