Question

已知函數和函數，其中為參數，且滿足．

（1）若，寫出函數的單調區間（無需證明）；

（2）若方程在恒有唯一解，求實數的取值范圍；

（3）若對任意，均存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

解：(1)m＝2時，g(x)＝ …………………………………………………1分

函數g(x)的單調增區間為(－∞，1)，(2，＋∞)，單調減區間為(1,2)． ……………4分

(2)由f(x)＝2^|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解，

得|x－m|＝|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解．

即，解得或，由題意知2m＝0或2m<－4，

即m<－2或m＝0．

綜上，m的取值范圍是m<－2或m＝0．……………………………………………………8分

(3)f(x)＝

則f(x)的值域應是g(x)的值域的子集．………………………………………………………10分

①m≤4時，f(x)在(－∞，m]上單調遞減，[m,4]上單調遞增，故f(x)≥f(m)＝1．

g(x)在[4，＋∞)上單調遞增，故g(x)≥g(4)＝8－2m，所以8－2m≤1，

即≤m≤4． ………………………………………………………………………………12分

②當4<m≤8時，f(x)在(－∞，4]上單調遞減，故f(x)≥f(4)＝2^m－4，

g(x)在[4，m]上單調遞減，[m，＋∞)上單調遞增，故g(x)≥g(m)＝2m－8，

所以2^m－4≥2m－8，解得4<m≤5或6≤m≤8．    …………………………………13分

綜上，m的取值范圍是．  ……………………………………………………14分