Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點，，過點的任意一條直線與橢圓交于，兩點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，得到，根據離心率得到，結合，得到，的值，從而得到橢圓方程；

（2）將問題轉化為證明證明，易得直線的斜率不存在時結論成立，直線的斜率存在時，直線的方程為，與橢圓聯立，得到，，表示出，，再進行計算，得到，從而證明.

（1）因為，令，得，

因為過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，

所以，

根據離心率為，得，

結合，

解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）要證明，只需證明，

過，分別作軸的垂線段，，易得：，

所以只需證明，

所以只需證明，只需證明.

當直線的斜率不存在時，易得.

當直線的斜率存在時，不妨設其為，則直線的方程為，

聯立消去y，得，

設，，則，，

直線的斜率，直線的斜率，

.

綜上所述，.