Question

P是橢圓上一點，F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，|F₁F₂|=2c，過P作直線l：的垂線，垂足為Q，若PQF₁F₂是平行四邊形，則橢圓的離心率取值范圍是_    ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意得，若PQF₁F₂是平行四邊形，如圖，由圖可知，橢圓上存在一點，使得它到左準線的距離小于焦距即可，而橢圓上的點到左準線的距離的最小值為左頂點到左準線的距離，從而建立關于e的不等關系，求解即得橢圓的離心率取值范圍．
解答：解：若PQF₁F₂是平行四邊形，如圖，
由圖可知，橢圓上存在一點，使得它到左準線的距離小于焦距即可，
而橢圓上的點到左準線的距離的最小值為左頂點到左準線的距離，即a-，
∴a-＜2c，
即：2c²+ac-a²＞0，
從而2e²+e-1＞0⇒e＞
又橢圓的離心率e＜1，
則橢圓的離心率取值范圍是．
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．