Question

（1）求證：

7

-

6

＜

5

-2；
（2）已知函數f（x）=e^x+

x-2

x+1

，用反證法證明方程f（x）=0沒有負數根．

Answer 1

分析：（1）采用分析法來證，要證

7

-

6

＜

5

-2，只需兩邊平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．
（2）對于否定性命題的證明，可用反證法，先假設方程f（x）=0有負數根，經過層層推理，最后推出一個矛盾的結論．

解答：證明：（1）要證

7

-

6

＜

5

-2    
只需證(

7

-

6

)2＜(

5

-2)2
只需證 13-2

42

＜9-4

5

  即證2+2

5

＜

42

只需證24+8

5

＜42   
只需證 4

5

＜9 即證80＜81
上式顯然成立，命題得證．
（2）設存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，則e x0=-

x0-2

x0+1

由于0＜e x0＜1得0＜-

x0-2

x0+1

＜1，解得

1

2

＜x₀＜2，
與已知x₀＜0矛盾，因此方程f（x）=0沒有負數根．

點評：（1）本題主要考查不等式的證明，證明用到了分析法，分析法是從要證明的結論出發，一步步向前推，得到一個恒成立的不等式，或明顯成立的結論即可．
（2）本題考查了函數的零點問題與方程的根的問題．方程的根，就是指使方程成立的未知數的值．對于結論是否定形式的命題，往往反證法證明．