Question

(2007山東，22)設函數，其中b≠0．

(1)當時，判斷函數f(x)在定義域上的單調性；

(2)求函數f(x)的極值點；

(3)證明對任意的正整數n，不等式都成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由題意知，f(x)的定義域為(―1，＋∞)，， 設，其圖象的對稱軸為， ∴．當時，． 即在(―1，＋∞)上恒成立． ∴當x(―1，＋∞)時，． ∴當時，函數f(x)在定義域(―1，＋∞)上單調遞增． (2)①由(1)得：當時，函數f(x)無極值點． ②時，有兩個相同的解， ∵時，，時，， ∴時，函數f(x)在(―1，＋∞)上無極值點． ③當時，有兩個不同解，，． ∵b＜0時，，， 即，， ∴b＜0時，、f(x)隨x的變化情況如下表： 由此表可知b＜0時， f(x)有唯一極小值點；當時，，∴， 此時，、f(x)隨x的變化情況如下表： 由此表可知：時，f(x)有一個極大值點和一個極小值點； 綜上所述，b＜0時，f(x)有唯一極小值點； 時，f(x)有一個極大值點和一個極小值點；時，f(x)無極值點． (3)當b=－1時，函數，令函數，則．∴當x[0，＋∞)時，，所以函數h(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又h(0)=0，∴x[0，＋∞)時，恒有h(x)＞h(0)=0，即恒成立，故當x[0，＋∞)時，有．對任意正整數n，取，則有，所以結論成立．