Question

（ （14分）已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁、F₂在坐標軸上，離心率為且過點(4，-)

（Ⅰ）求雙曲線方程；

（Ⅱ）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：點M在以F₁F₂為直徑的圓上；

（Ⅲ）求△F₁MF₂的面積.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) x²-y²=6

(2) 略

(3) 6

【解析】解：（Ⅰ） ∵離心率e=

∴設所求雙曲線方程為x²-y²=(≠0)

則由點(4，-)在雙曲線上

知=4²-(-)²=6

∴雙曲線方程為x²-y²=6                                       

       （Ⅱ）若點M(3,m)在雙曲線上

   則3²-m²=6     ∴m²=3

   由雙曲線x²-y²=6知F₁(2,0),F₂(-2,0)

   ∴

   ∴,故點M在以F₁F₂為直徑的雙曲線上.             

（Ⅲ）=×2C×|M|=C|M|=2×=6