Question

如圖，在中，B=,AC=,D、E兩點分別在AB、AC上.使,DE=3.現將沿DE折成直二面角，求：

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大�。ㄓ梅慈�角函數表示）.            

Answer 1

解法一：

　�。á瘢┰趫D1中，因，故DE∥BC.又因B＝90°，從而AD⊥DE.

在圖2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，從

而AD⊥DB.而DB⊥BC,

故DB為異面直線AD與BC的公垂線.下求DB之長.

在圖1中，由，得

又已知DE=3,從而

因

（Ⅱ）在圖2中，過D作DF⊥CE,交CE的延長線于F，連接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂線定理知AF⊥FC,故∠AFD為二面角A-EC-B的平面角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,,

因此

從而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan  

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如圖3.由（Ⅰ）知，以D點為坐標原點，的方向為x、

y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

 

則D（0，0，0），A（0，0，4），，E（0，3，0）.

過D作DF⊥CE,交CE的延長線于F，連接AF.設

從而，

有     ①

    又由        ②

    聯立①、②，解得

    因為,

故,又因,所以為所求的二面角A-EC-B的平面角.

因有

所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小為