Question

【題目】已知中，角、、所對的邊分別是、、，且，，有以下四個命題：①滿足條件的不可能是直角三角形；②當時，的周長為15；③當

時，若為的內心，則的面積為；④ 的面積的最大值為40．其中正確命題有__________（填寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①，考慮勾股定理的逆定理，即可判斷；
②，運用正弦定理可得，運用三角函數的恒等變換，即可得到所求周長；
③，運用正弦定理和三角函數的恒等變換、三角形的面積公式和等積法，即可得到所求面積．
④，運用圓的方程和三角形的面積公式，即可得到所求最大值；

對于①，，即，設，由 ，可得 ，滿足條件的可能是直角三角形，故①錯誤；
對于②，，，，可得，由正弦定理可得，可得，由

可得：，解得

可得，可得：，則，故②正確；
對于③，由②得．
設的內切圓半徑為，則．故③正確．
對于④，對于①，以的中點為坐標原點，所在直線為軸，可得 ，可得，設 ，
可得，平方可得 ，

即有

化為

則的軌跡是以 ，半徑為的圓，可得的面積的最大值為 故④正確；
故答案為：②③④．