Question

將一枚均勻的硬幣連續拋擲n次，以P_n表示未出現連續3次正面的概率。
（1）求P₁、P₂、P₃和P₄；
（2）探究數列{P_n}的遞推公式，并給出證明；
（3）討論數列{P_n}的單調性及其極限，并闡述該極限的概率意義。

Answer 1

解：（1）顯然P₁=P₂=1，
又投擲四次連續出現三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，故
。
（2）共分三種情況：①如果第n次出現反面，那么前n次不出現連續三次正面和前n-1次不出現連續三次正面是相同的，所以這個時候不出現連續三次正面的概率是；
②如果第n次出現正面，第n-1次出現反面，那么前n次不出現連續三次正面和前n-2次不出現連續三次正面是相同的，所以這個時候不出現連續三次正面的概率是；
③如果第n次出現正面，第n-1次出現正面，第n-2次出現反面。那么前n次不出現連續三次正面和前n-3次不出現連續三次正面是相同的，所以這時候不出現三次連續正面的概率是
綜上，
P₁=P₂=1，  ①
從而 ②
，有。
（3）由（2）知，n≥4時，{P_n}單調遞減，又P₁=P₂>P₃>P₄，
∴n≥2時，數列{P_n}單調遞減，且有下界0
∴P_n的極限存在記為a
對兩邊同時取極限可得
a=0，故。
其統計意義：當投擲的次數足夠多時，不出現連續三次正面向上的概率非常小。