Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）當時，求函數在上的最值；

（Ⅱ）討論函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，對任意，都有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）當時，增區間為，減區間為；當時，增區間為和，減區間為；當，增區間為；當時，增區間為和，減區間為； （Ⅲ）1.

【解析】

（Ⅰ）表示此時的，對其求導分析單調性，分別計算端點值與極大（�。┲�，比較其中最大的為最大值，最小的為最小值；

（Ⅱ）求導，利用分類討論最高次項是否為零，并因式分解表示的兩根，再利用分類討論兩根的大小，進而判定單調性；

（Ⅲ）當時，求得此時的最大值；當時，利用二次函數定區間動軸問題的討論方式，求得此時的最大值；由恒成立即求得的最小值.

（Ⅰ）當時，有，則，則

	+	0	-	0	+
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

因為，，，

所以，

（Ⅱ）由題可知，

當時，的增區間為，減區間為

當時，的增區間為和，減區間為

當，的增區間為

當時，的增區間為和，減區間為

（Ⅲ）①當時，在上的最大值為1

②當時，的對稱軸為，

若即時，

而，所以

若即時，

由，，所以

綜上所述，當時，對任意，

因為恒成立，所以

故的最小值為1

法2：解：，由題得：

，對于，以及恒成立.

①首先必須

對恒成立，對恒成立

，于是必須

②其次，再證明合乎題意.

要證，即證

事實上，，，

另外

兩式相乘立即知道（A）成立.綜合（1），（2）得的最小值為1