Question

【題目】（本小題滿分14分）一種畫橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，．當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞轉動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8．

【解析】

（Ⅰ）因為，當在x軸上時，等號成立；同理，當重合，即軸時，等號成立． 所以橢圓C的中心為原點，長半軸長為，短半軸長為，其方程為

（Ⅱ）（1）當直線的斜率不存在時，直線為或，都有．

（2）當直線的斜率存在時，設直線， 由消去，可得．因為直線總與橢圓有且只有一個公共點，所以，即． ①

又由可得；同理可得．由原點到直線的距離為和，可得

． ②

將①代入②得，． 當時，；當時，．因，則，，所以，當且僅當時取等號．所以當時，的最小值為8．

綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8．