Question

如圖的多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經平面AEFG所截后得到的圖形，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（I）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

解：（I）證明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°
∴由余弦定理，可得BD=∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD
又在直平行六面體中，GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD
又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG（5分）
（Ⅱ）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz
∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2
則有A（1，0，0），B（0，，0）．
∴=（-1，0，1）（7分）
設平面AEFG的法向量為n=（x，y，z）
由取n=（1，-，1）（9分）
而平面ABCD的一個法向量為=（0，0，1），（10分）
∴cos
故平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大小為arccos（13分）
分析：（I）由已知中多面體是直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁經平面AEFG所截后得到的圖形，由勾股定理可得AD⊥BD，由直平行六面體的幾何特征，可得GD⊥BD，由線面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，分別求出平面AEFG和平面ABCD的一個法向量，代入向量的夾角公式，即可求出平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的大小．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關鍵是證得AD⊥BD和GD⊥BD，（II）的關鍵是建立空間直角坐標系D-xyz，將二面角問題轉化為向量夾角問題．