Question

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB="4," BC="CD=2, " AA="2, " E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。
（1）  證明：直線EE//平面FCC；
求二面角B-FC-C的余弦值。

Answer 1

（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，
連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB="4," CD=2,且AB//CD，
所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，
又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，
所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，
所以直線EE//平面FCC.

（2）因為AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,過O在平面CC₁F內作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,
在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

解法二:（1）因為AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中點,
所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因為ABCD為
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,
連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM為x軸,DC為y軸,DD₁為z軸建立空間直角坐標系,
,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,
C₁（0,2,2）,E（,,0）,E₁（,-1,1）,所以,,設平面CC₁F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC.
（2）,設平面BFC₁的法向量為,則所以,取,則,
,, 
所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為

略