Question

給定方程：（

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2

）^x+sinx-1=0，下列命題中：
①該方程沒有小于0的實數解；
②該方程有無數個實數解；
③該方程在（-∞，0）內有且只有一個實數解；
④若x₀是該方程的實數解，則x₀＞-1．
則正確命題是

②③④

．

Answer 1

分析：根據正弦函數的符號和指數函數的性質，可得該方程存在小于0的實數解，故①不正確；根據指數函數的圖象與正弦函數的有界性，可得方程有無數個正數解，故②正確；根據y=（

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）^x-1的單調性與正弦函數的有界性，
分析可得當x≤-1時方程沒有實數解，當-1＜x＜0時方程有唯一實數解，由此可得③④都正確．

解答：解：對于①，若α是方程（

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）^x+sinx-1=0的一個解，
則滿足（

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）^α=1-sinα，當α為第三、四象限角時（

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）^α＞1，
此時α＜0，因此該方程存在小于0的實數解，得①不正確；
對于②，原方程等價于（

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）^x-1=-sinx，
當x≥0時，-1＜（

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）^x-1≤0，而函數y=-sinx的最小值為-1
且用無窮多個x滿足-sinx=-1，
因此函數y=（

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）^x-1與y=-sinx的圖象在[0，+∞）上有無窮多個交點
因此方程（

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2

）^x+sinx-1=0有無數個實數解，故②正確；
對于③，當x＜0時，
由于x≤-1時（

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）^x-1≥1，函數y=（

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）^x-1與y=-sinx的圖象不可能有交點
當-1＜x＜0時，存在唯一的x滿足（

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）^x=1-sinx，
因此該方程在（-∞，0）內有且只有一個實數解，得③正確；
對于④，由上面的分析知，
當x≤-1時（

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）^x-1≥1，而-sinx≤1且x=-1不是方程的解
∴函數y=（

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2

）^x-1與y=-sinx的圖象在（-∞，-1]上不可能有交點
因此只要x₀是該方程的實數解，則x₀＞-1．
故答案為：②③④

點評：本題給出含有指數式和三角函數式的方程，討論方程解的情況．著重考查了指數函數的單調性、三角函數的周期性和有界性、函數的值域求法等知識，屬于中檔題．