Question

【題目】設函數．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數的導函數，然后由導數的幾何意義即可得出曲線在點處的切線的斜率，最后求出其切線方程即可；（2）首先將問題“對任意，不等式恒成立”轉化為“”，然后構造函數，，并求出導函數并進行分類討論：當時和當時，并分別求出其導函數并判斷其單調性，最后結合已知條件即可得出所求的結果．

試題解析：（1）當時，，則，，∴，∴曲線在點處的切線方程為，即．

（2）當時，，．

所以不等式等價于.

令，，

則.

當時，，則函數在上單調遞增，所以，

所以根據題意，知有，∴.

當時，由，知函數在上單調增減；

由，知函數在上單調遞增.

所以.

由條件知，，即.

設，，則，，

所以在上單調遞減.

又，所以與條件矛盾.

綜上可知，實數的取值范圍為.