Question

【題目】已知函數，函數在點處的切線與直線平行．

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因為，則由題意知，所以，即．………1分

所以，定義域為．

．……………2分

當時，由，得函數的遞增區間為，

由，得函數的遞減區間為；……………4分

當時，由，得函數的遞增區間為，……………5分

（2）令，則．

根據題意，當時，恒成立，

所以.……………6分

①當時，，時，恒成立，

所以在上是增函數，且，所以不符合題意. ……………7分

②當時，時，恒成立，

所以在上是增函數，且所以不符合題意. ……………9分

③當時，時，恒有，故在上是減函數，

于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故取，……………11分

綜上，．……………12分

【命題意圖】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數與方程、不等式解法等基礎知識，意在考查

邏輯推理能力、等價轉化能力、運算求解能力，以及考查函數與方程思想、分類討論思想．