Question

（本小題滿分14分）已知函數在上是減函數，在上是增函數，函數在上有三個零點，且1是其中一個零點．（1）求的值； （2）求的取值范圍；（3）試探究直線與函數的圖像交點個數的情況，并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）見解析

解析:

（1）解：∵，∴．

∵在上是減函數，在上是增函數，

∴當時，取到極小值，即． ∴．

（2）解：由（1）知，， ∵1是函數的一個零點，即，∴．

∵的兩個根分別為，． ∵在上是增函數，且函數在上有三個零點，∴，即． ∴．

故的取值范圍為．

（3）解：由（2）知，且．

要討論直線與函數圖像的交點個數情況，

即求方程組解的個數情況．由，

得．

即．

即．

∴或．

由方程， （*）

得．∵，

若，即，解得．此時方程（*）無實數解．

若，即，解得．此時方程（*）有一個實數解．

若，即，解得．此時方程（*）有兩個實數解，分別為，．

且當時，，．

綜上所述，當時，直線與函數的圖像有一個交點．

當或時，直線與函數的圖像有二個交點．

當且時，直線與函數的圖像有三個交點．