Question

設p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）內單調遞增；q：已知h（x）=x²，g(x)=(

1

2

)x-m，若對任意x₁∈[-1，3]，總存在x₂∈[0，2]，使得h（x₁）≥g（x₂）成立，則p是q成立的

充分不必要

條件．

Answer 1

分析：對于命題p，根據導數與函數單調性的關系，求出m的范圍，命題q，利用轉化的思想將問題轉化為h（x）min≥g（x）min，從而求出m的范圍，再根據充分必要條件的定義進行求解；

解答：解：p：?x∈R，f′（x）=3x²+4x+m≥0，⇒△=16-12m≤0，⇒m≥

4

3

；
q：h（x）=x²，g(x)=(

1

2

)x-m，若對任意x₁∈[-1，3]，總存在x₂∈[0，2]，使得h（x₁）≥g（x₂）成
∴h（x）min≥g（x）min⇒0≥

1

4

-m⇒m≥

1

4

故p⇒q反之不成立，
∴p是q的充分不必要條件，
故答案為：充分不必要；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性以及函數的恒成立問題，其中用到了轉化的思想，是一道中檔題；