Question

已知a，b是實數，函數f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導函數，若f′（x）g′（x）≥0在區間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區間I上單調性一致
（1）設a＞0，若函數f（x）和g（x）在區間[-1，+∞）上單調性一致，求實數b的取值范圍；
（2）設a＜0，且a≠b，若函數f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）和g（x）的導函數，再利用函數f（x）和g（x）在區間[-1，+∞）上單調性一致即f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，來求實數b的取值范圍；
（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分別求出兩個函數的單調區間，綜合在一起看何時函數f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區間上單調性一致，進而求得|a-b|的最大值．

解答：解：f'（x）=3x²+a，g'（x）=2x+b．
（1）由題得f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立．因為a＞0，故3x²+a＞0，
進而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故實數b的取值范圍是[2，+∞）
（2）令f'（x）=0，得x=±

- a 3

．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因為f'（0）g'（0）=ab＜0，
所以函數f（x）和g（x）在（a，b）上不是單調性一致的．
因此b≤0．
現設b≤0，當x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0；
當x∈（-∝，-

- a 3

）時，f'（x）＞0．
因此，當x∈（-∝，-

- a 3

）時，f'（x）g'（x）＜0．故由題設得a≥-

- a 3

且b≥-

- a 3

，
從而-

1

3

≤a＜0，于是-

1

3

＜b＜0，因此|a-b|≤

1

3

，且當a=-

1

3

，b=0時等號成立，
又當a=-

1

3

，b=0時，f'（x）g'（x）=6x（x²-

1

9

），從而當x∈（-

1

3

，0）時f'（x）g'（x）＞0．
故函數f（x）和g（x）在（-

1

3

，0）上單調性一致，因此|a-b|的最大值為

1

3

．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．