Question

已知函數f（x）=，若f（x）滿足f（-x）=-f（x）．
（1）求實數a的值；
（2）證明f（x）是R上的增函數；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（0）=0．求出實數a的值，得出，
（2）直接利用函數單調性的證明步驟進行證明
（3）采用分子變常數法得出=，再利用反比例函數性質求解．
解答：解：（1）函數f（x）的定義域為R，又f（x）滿足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．所以=0，解得a=1，…（3分）
此時，，經檢驗f（x），滿足題意，故a=1           …（4分）
（2）設x₁＜x₂，
則
∵x₁＜x₂，
∴，
∴
∴f（ x₂）-f（ x₁）＞0
f（ x₂）＞f（ x₁）
所以f（x）在定義域R上為增函數．…（8分）
（3）=，…（11分）
因為2^x+1＞1，，所以即f（x）的值域為（-1，1）．…（12分）
點評：本題考查函數解析式求解、函數的奇偶性、單調性的判定．考查轉化、計算、論證能力．