Question

函數f（x）=a^x+|x-

1

2

|-

1

2

在（0，1）上有兩個不同的零點，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）=0，得到a^x=-|x-

1

2

|+

1

2

，將方程轉化為函數，利用指數函數的圖象，結合數形結合的數學思想即可得到結論．

解答：解：由f（x）=a^x+|x-

1

2

|-

1

2

=0，
得a^x=-|x-

1

2

|+

1

2

，
設函數y=a^x和y=-|x-

1

2

|+

1

2

，
作出函數y=-|x-

1

2

|+

1

2

，在（0，1）上的圖象如圖：
若a＞1，則函數y=a^x和y=-|x-

1

2

|+

1

2

兩個圖象沒有公共點，不成立．
若0＜a＜1，則函數y=a^x單調遞減，y=-|x-

1

2

|+

1

2

在（0，1）上的最大值為

1

2

，
要使兩個圖象有兩個不同的公共點，
則當x=

1

2

時，滿足a

1

2

＜

1

2

，
即a＜

1

4

，
此時0＜a＜

1

4

，
故答案為：0＜a＜

1

4

．

點評：本題主要考查函數零點的應用，將函數零點問題轉化為兩個函數的圖象是解決本題的關鍵，利用數形結合是基本方法．