Question

在圓C：x²+y²=4上任取一點P，過P作PD垂直x軸于D，且P與D不重合．
（1）當點P在圓上運動時，線段PD中點M的軌跡E的方程；
（2）直線l：y=x+1與（1）中曲線E交于A，B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析：（1）設PD中點M（x，y），P（x′，y′），依題意

x=x′ y= y′ 2

，又點P在圓C：x²+y²=4上即可求得線段PD中點M的軌跡E的方程；
（2）聯立直線l：y=x+1與（1）中曲線E組成方程組，設出A，B兩點，通過韋達定理，利用弦長公式求|AB|的值．

解答：解：（1）設PD中點M（x，y），P（x′，y′），依題意

x=x′ y= y′ 2

⇒

x′=x y′=2y

       2分
又點P在圓C：x²+y²=4上，∴（x′）²+（y′）²=4即x²+4y²=4           4分
又P與D不重合，
∴PD中點M的軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1  (y≠0)．6分
（2）由題意

y=x+1 x2 4 +y2=1

消去y可得   5x²+8x=0                         8分
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8

5

，x₁•x₂=0，10分
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

8 2

5

.12分

點評：本題是中檔題，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查韋達定理的應用，弦長公式的應用，軌跡方程的求法，考查計算能力．