Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=

2

，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥側面ABB₁A₁．
（Ⅰ）證明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明BC⊥AB₁，可證明AB₁垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側面ABB₁A₁，所以CO垂直于AB₁，只要在矩形ABB₁A₁內證明BD垂直于AB₁即可，可利用角的關系加以證明；
（Ⅱ）分別以OD，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，以O為原點，建立空間直角坐標系，求出

DC1

，平面ABC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答：（I）證明：由題意，因為ABB₁A₁是矩形，
D為AA₁中點，AB=1，AA₁=

2

，AD=

2

2

，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=

AB

BB1

，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

AD

AB1

，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因為CO⊥側面ABB₁A₁，AB₁?側面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，
因為BC?面BCD，
所以BC⊥AB₁．
（Ⅱ）解：如圖，分別以OD，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，以O為原點，建立空間直角坐標系，則A（0，-

3

3

，0），B（-

6

3

，0，0），C（0，0，

3

3

），B₁（0，

2 3

3

，0），D（

6

6

，0，0），
又因為

CC1

=2

AD

，所以C1(

6

3

，

2 3

3

，

3

3

)           
所以

AB

=（-

6

3

，

3

3

，0），

AC

=（0，

3

3

，

3

3

），

DC1

=（

6

6

，

2 3

3

，

3

3

），
設平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），
則根據

- 6 3 x+ 3 3 y=0 3 3 y+ 3 3 z=0

可得

n

=（1，

2

，-

2

）是平面ABC的一個法向量，
設直線C₁D與平面ABC所成角為α，則sinα=

| DC1 • n |

| DC1 || n |

=

3 55

55

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查線面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．