Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，點是的中點，且，.

  

（1）求四棱錐的體積；

（2）求證：∥平面；

（3）求直線和平面所成的角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2） 取的中點，連接、。

得∥且 ，∥且

∴ 四邊形是平行四邊形

∴ ∥得到∥平面 ；

（3）。

【解析】

試題分析：∵⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥                          

∵,、是平面內的兩條相交直線

∴ 側棱底面                       2分

在四棱錐中，側棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴      4分

（2） 取的中點，連接、。

∵ 點是的中點   ∴∥且 

∵ 底面是直角梯形，垂直于和，，

∴ ∥且

∴ ∥且

∴ 四邊形是平行四邊形

∴ ∥

∵，

∴ ∥平面       8分

（3）∵ 側棱底面，底面

∴

∵垂直于，、是平面內的兩條相交直線

∴ ，垂足是點

∴是在平面內的射影，

∴是直線和平面所成的角

∵ 在中，，    ∴

∴

∴ 直線和平面所成的角的正弦值是      13分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系，體積及角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。