Question

【題目】定義在R上的函數f（x）滿足（x﹣1）f′（x）≤0，且f（﹣x）=f（2+x），當|x1﹣1|＜|x2﹣1|時，有（ ）
A.f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）
B.f（2﹣x1）=f（2﹣x2）
C.f（2﹣x1）＞f（2﹣x2）
D.f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①若f（x）=c，則f'（x）=0，此時（x﹣1）f'（x）≤0和y=f（x+1）為偶函數都成立，
此時當|x1﹣1|＜|x2﹣1|時，恒有f（2﹣x1）=f（2﹣x2）．
②若f（x）不是常數，因為函數y=f（x+1）為偶函數，所以y=f（x+1）=f（﹣x+1），
即函數y=f（x）關于x=1對稱，所以f（2﹣x1）=f（x1），f（2﹣x2）=f（x2）．
當x＞1時，f'（x）≤0，此時函數y=f（x）單調遞減，當x＜1時，f'（x）≥0，此時函數y=f（x）單調遞增．
若x1≥1，x2≥1，則由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得x1﹣1＜x2﹣1，即1≤x1＜x2 ， 所以f（x1）＞f（x2）．
同理若x1＜1，x2＜1，由|x1﹣1|＜|x2﹣1|，得﹣（x1﹣1）＜﹣（x2﹣1），即x2＜x1＜1，所以f（x1）＞f（x2）．
若x1 ， x2中一個大于1，一個小于1，不妨設x1＜1，x2≥1，則﹣（x1﹣1）＜x2﹣1，
可得1＜2﹣x1＜x2 ， 所以f（2﹣x1）＞f（x2），即f（x1）＞f（x2）．
綜上有f（x1）＞f（x2），即f（2﹣x1）＞f（2﹣x2），
故選A．