Question

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且.

   （1）求橢圓的離心率；

   （2）若過三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

   （3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點_,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。  

Answer 1

解：（1）設B（x₀，0），由（c，0），A（0，b）

       知

，

       由于 即為中點．

       故

，  

故橢圓的離心率                        ---4分

       （2）由（1）知得于是（，0）, B，

       △的外接圓圓心為（，0），半徑r==,

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求橢圓方程為.                         ------------------8分

（3）由（2）知, ：

                  代入得  

       設，

       則，     ------------------10分

      

       由于菱形對角線垂直，則 

       故

則

                      ------------------12分

       由已知條件知且

    

       故存在滿足題意的點P且的取值范圍是．        ------------------13分