Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0（n∈N^*）且a₃+2是a₂、a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n．
（2）若bn=anlog

1

2

an，求證：{b_n}的前n項和S_n≤-2．

Answer 1

分析：（1）根據數列是一個各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把這個式子分解，變為兩個因式乘積的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意數列是一個正項數列，得到a_n+1-2a_n=0，得到數列是一個等比數列，寫出通項．
（2）本題構造了一個新數列，要求新數列的和，注意觀察數列是有一個等差數列和一個等比數列乘積組成，需要用錯位相減來求和，求出S_n即可比較與-2的大小關系．

解答：解：（1）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以數列{a_n}是以2為公比的等比數列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ．
（2）由（1）及b_n=anlog

1

2

an得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2≤-2
∴{b_n}的前n項和S_n≤-2．

點評：本題主要考查了數量的遞推關系，數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位．高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏，屬于中檔題．