Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點F₁，F₂和上下兩個頂點B₁，B₂是一個邊長為2且∠F₁B₁F₂為60°的菱形的四個頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F₂，斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x=3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF₂的斜率為k′．求證：k•k′為定值．

Answer 1

分析：解：（1）由題意利用菱形和含30°角的直角三角形的性質可得a=2，b=

3

，c=1．即可得到橢圓C的方程．
（2）設過點F₂（1，0）的直線l的方程為：y=k（x-1）．設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），與橢圓方程聯立即可得到根與系數的關系，．可得直線AE的方程及直線AF的方程，令x=3，得點M，N的坐標．利用中點坐標公式可得點P的坐標．即可得到直線PF₂的斜率為k′，把根與系數代入即可得出k•k′為定值．

解答：解：（1）由題意可得a=2，b=

3

，c=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設過點F₂（1，0）的直線l的方程為：y=k（x-1）．
設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
顯然△＞0，∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

（*）．
直線AE的方程為y=

y1

x1-2

(x-2)，直線AF的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得點M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)．
∴點P(3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

))．
直線PF₂的斜率為k′=

1 2 ( y1 x1-2 + y2 x2-2 )-0

3-1

=

1

4

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)
=

1

4

y2x1+x2y1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

x1x2-2(x1+x2)+4

．
把（*）代入得k^′=

1

4

•

2k• 4k2-12 3+4k2 -3k• 8k2 3+4k2 +4k

4k2-12 3+4k2 -2• 8k2 3+4k2 +4

=-

3

4k

．
∴k•k′=-

3

4

為定值．

點評：熟練掌握橢圓的標準及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、直線的點斜式方程、中點坐標公式、斜率計算公式等是解題的關鍵．