Question

已知函數f_n（x）=1+x+x²+…+xⁿ（n∈N^*）．
（1）當n=1，2，3時，分別求函數f_n（x）的單調區間；
（2）當n=2時，關于x的方程ln(x+1)=-

5

2

x+m+f(x)-1在區間[0，2]上恰有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍；
（3）求證：對任意的正整數n，不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（1）當n=1時直接利用一次函數的單調性即可，當n=2時借助于二次函數的單調性；當n=3時，求出其導函數即可求出函數f_n（x）的單調區間；
（2）先把問題轉化為h(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-m在區間[0，2]上與x軸恰有兩個不同的交點；求出其導函數，得到其單調性，根據其端點值滿足的條件即可求出實數m的取值范圍；
（3）先令g（x）=ln（x+1）-x²-x，根據其導函數得到其在定義域上的最大值，再取x=

1

n

，即可證明結論成立．

解答：解：（1）當n=1時，f（x）=1+x在區間（-∞，+∞）上單調遞增；
當n=2時，f（x）=1+x+x²在區間(-∞，-

1

2

)上單調遞減，在區間(-

1

2

，+∞)上單調遞增：
當n=3時，f（x）=1+x+x²+x³，導函數f''（x）=1+2x+3x²＞0對x∈R成立，f（x）=1+x+x²+x³在區間（-∞，+∞）上單調遞增．
（2）由ln(x+1)=-

5

2

+m+f(x)-1得：h(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-m在區間[0，2]上與x軸恰有兩個不同的交點
h/(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，則h（x）在區間（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，2）時，h′（x）＜0，則h（x）在區間（1，2）上單調遞減；
由題意得：

h(0)=-m≤0 h(1)=ln2-1+ 3 2 -m＞0 h(2)=ln3-4+3-m≤0

則ln3-1≤m＜ln2+

1

2

（3）令g（x）=ln（x+1）-x²-x，它的定義域為{x|x＞-1}．
∴g/(x)=

-x(2x+3)

x+1

當x∈（-1，0）時，g′（x）＞0，則g（x）在區間（-1，0）上單調遞增；
當x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，則g（x）在區間（0，+∞）上單調遞減；
∴g（0）為g（x）在（-1，+∞）上的最大值
∴g（x）≤g（0）即ln（x+1）-x²-x≤0（當且僅當x=0時，等號成立）
∴對任意n∈N^*，取x=

1

n

，則不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值以及研究函數的單調性，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．