Question

如果函數y=f（x）的定義域為R，對于定義域內的任意x，存在實數a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數具有“P（a）性質”．
（I）判斷函數y=sinx是否具有“P（a）性質”，若具有“P（a）性質”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性質”，請說明理由；
（II）設函數y=g（x）具有“P（±1）性質”，且當時，g（x）=|x|．若y=g（x）與y=mx交點個數為2013個，求m的值．

Answer 1

解：（I）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據誘導公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性質”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），從而得到y=g（x）是以2為周期的函數．
又設≤x≤，則-≤1-x≤，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再設n-≤x≤n+（n∈z），
當n=2k（k∈z），2k-≤x≤2k+，則-≤x-2k≤，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
當n=2k+1（k∈z），2k+1-≤x≤2k+1+，則≤x-2k≤，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴對于，n-≤x≤n+（n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-≤x+1≤n+1+，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期為1的函數．
①當m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有2013個交點，只要y=mx與y=g（x）在[0，1006）有2012個交點，而在[1006，1007]有一個交點．
∴y=mx過（，），從而得m=
②當m＜0時，同理可得m=-
③當m=0時，不合題意．
綜上所述m=±…（14分）
分析：（I）根據題意先檢驗sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可檢驗y=sinx是否具有“P（a）性質”
（II）由題意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），據此遞推關系可推斷函數y=g（x）的周期，根據交點周期性出現的規律即可求解滿足條件的m．
點評：本題考查周期函數，著重考查函數在一定條件下的恒成立問題，綜合考察構造函數、分析轉化、分類討論的數學思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題．