Question

【題目】已知點A（﹣1，0），B（1，0），直線AM與直線BM相交于點M，直線AM與直線BM的斜率分別記為kAM與kBM ， 且kAMkBM=﹣2 （Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過定點F（0，1）作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點，△OPQ的面積是否存在最大值？若存在，求出△OPQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：設M（x，y）， 所以直線AM與直線BM的斜率分別為 ， ，
因為直線AM與直線BM的斜率之積為﹣2，
所以 =﹣2，化簡得： =1（y≠0）．
所以動點M的軌跡C的方程為： =1（y≠0）．
（Ⅱ）由已知當直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程是y=kx+1，
聯立直線與橢圓方程，消去y得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，
∵△=（4k2）+4（k2+2）=8（k2+1）＞0，∴k∈R，
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
S△OPQ= |x1﹣x2|= = ≤
當且僅當k=0時取等號，
△OPQ面積的最大值為
【解析】（Ⅰ）設M（x，y），由kMA×kMB=﹣2，得 =﹣2，由此能求出點M的軌跡C的方程．（Ⅱ）由已知當直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程是y=kx+1，與橢圓聯立，得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出△OPQ面積的最大值．